Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel

A.KONSEP NILAI MUTLAK
Nilai mutlak bilangan x, dinotasikan dengan  |x|(dibaca"nilai mutlak dari x"), didefinisikan sebagai berikut.
|X|=jarak x dari titik nol pada garis bilangan

Jarak -3 dari 0 adalah 3 sehingga|-3|=3. Jarak 3 dari 0 adalah 3 sehingga |3|=3.

Nilai mutlak dari sebarang bilangan x € bilangna real, yang dinotasikan dengan |x|, didefinisikan senagai berikut.

|x|=x jika x ≥ 0
      - x jika x < 0

Sifat-sifat nilai mutlak
a. |-x|=|x|
b. |x|=√x²
c. |x|=|-x²|=x²
d. Untuk sebarang x, y € bilangan real berlaku sebagai berikut.
1.|x-y|=|y-x|
2.|xy|=|x||y|
3 |x|=|x|,y≠0
   |y|   |y|
4.|x+y|≤|x|+|y|
5.|x|-|y|≤|x-y|

Fungsi nilai mutlak
-fungsi nilai mutlak f(x)=|x|
-fungsi nilai mutlak f(x)=|ax+b|

B.PERSAMAAN NILAI MUTLAK
Persamaan milai mutlak adalah persamaan yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada di dalam tanda nilai mutlak.

Bentuk umum persamaan nilai mutlak
Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x
|f(x)|=c dengan syarat c≥0
|f(x)|=|g(x)|
|f(x)|=g(x) dengan syarat g(x)≥0

Penyelesaiam persamaan nilai mutlak
Penyelesaian persamaan yant memuat nilai mutlak adalah bilangan-bilangan penggangti dari variabel yang membuat persamaan menjadi pernyataan bernilai benar.
Contohnya:
Penyelesaian persamaan|x-2|=3 adalah 5 dan -1 karena pernyataan|5-2|=3 bernilai benar dan pernyataan|-1-2|=3 bernilai benar.

Menggunakan definisi nilai mutlak
Persamaan nilai mutlak |ax+b|=c.
Ingat definisi nilai mutlak:
         
|ax+b|=ax+b jika ax+b≥0
             -(ax+b) jika (ax+b)<0
Dari definisi dapat diperolehhubungna sebagai berikut.
|ax+b|=c
ax+b=c atau-(ax+b)=c
ax+b=c atau ax+b=-c

Persamaan|ax+b|=c dapat diselesaikan dengan menyelesaikan persamaan ax+b=c atau ax+b=-c.
Persamaan|x-2|=3
x+2=3 atau x-2=-3
x=5 atau -x+2=3
x=5 atau x=-1
Jadi, penyelesaian |x-2|=3 adalah x=-1 atau x=5.

C.PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada didalam.tanda mutlak.
Berikut ini beberapa bentuk pertidaksamaan nilai mutlak
a. |x-1|≤2
b. |x-1|≥3
c. |x²-x-2|≥4
d. |x-3|≥|2x-5|
e. |2x-1|≥x-2

Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak
Penyelesaian persamaan nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.
Contohnya:
Penyelesaian |x-1|≤2 adalah-1≤ x ≤ 3 karena nilai-nilai x pada interval -1≤ x ≤ 3 membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar.
Untuk x=-1 diperoleh |-1-1|≤2=2≤2(benar)
Untuk x= 0 diperoleh |0-1|?≤=1≤2(benar)
Untuk x= 1 diperoleh  |1-1|?≤=0≤2(benar)
dan seterusnya.
Penyelesaian |x-1|≤2 diantaranya adalah x=-1, x=0, x=1.